95. Способы вычисления определенных интегралов
не на много большей затраты труда, чем предыдущие, а приводит обычно к более точным результатам (при одном и том же разбиении интервала).
Как и раньше, разобьем интервал [a, b] на n равных частей, но предположим, что n-четное число: n=2m. Заменим дугу линии y=f(x), соответствующую интервалу [x0, x2], дугой параболы, осб которой параллельна оси ординат и которая проходит через следующие три точки дуги: начальную точку дуги (x0, y0), среднюю точку (x1, y1), конечную точку (x2, y2) (рис. 112). Аналитически это означает, что в интервале [x0, x2] данная функция y=f(x)заменяется квадратичной функцией y=px^2+qx+r. Коэффициенты p, q и r выбираются так, чтобы значения обеих функций были равны при x0, x1, x2 соответственно
y0=px0^2+qx0+r, y1=p1^2+qx1+r, y2=px2^2+qx2+r.
Решая полученные уравнения, находим коэффициенты p, q и r.
Произведя подобные замены и в интервалах [x2, x4], [x4, x6],..., [x(n-2), xn] будем считать, что площадь данной трапеции приближенно равно сумме площадей получающихся параболических трапеций. Докажем теперь, что площадь S трапеции, ограниченной какой-нибудь параболой y=px^2+qx+r с осью, параллельной оси ординат, будет выражаться формулой
S=(дл. осн.)/6(yн+4yс+yк), (*)
где yн-ордината начальной, yc-ордината средней и yк-ордината конечной точек дуги параболы.
Предположим сначала, что основанием трапеции служит интервал оси Ox, симметричный относительно начала координат, [-гy, гy]. Для площади такой параболический трапеции имеем выражение
т.е.
Как и раньше, разобьем интервал [a, b] на n равных частей, но предположим, что n-четное число: n=2m. Заменим дугу линии y=f(x), соответствующую интервалу [x0, x2], дугой параболы, осб которой параллельна оси ординат и которая проходит через следующие три точки дуги: начальную точку дуги (x0, y0), среднюю точку (x1, y1), конечную точку (x2, y2) (рис. 112). Аналитически это означает, что в интервале [x0, x2] данная функция y=f(x)заменяется квадратичной функцией y=px^2+qx+r. Коэффициенты p, q и r выбираются так, чтобы значения обеих функций были равны при x0, x1, x2 соответственно
y0=px0^2+qx0+r, y1=p1^2+qx1+r, y2=px2^2+qx2+r.
Решая полученные уравнения, находим коэффициенты p, q и r.
Произведя подобные замены и в интервалах [x2, x4], [x4, x6],..., [x(n-2), xn] будем считать, что площадь данной трапеции приближенно равно сумме площадей получающихся параболических трапеций. Докажем теперь, что площадь S трапеции, ограниченной какой-нибудь параболой y=px^2+qx+r с осью, параллельной оси ординат, будет выражаться формулой
S=(дл. осн.)/6(yн+4yс+yк), (*)
где yн-ордината начальной, yc-ордината средней и yк-ордината конечной точек дуги параболы.
Предположим сначала, что основанием трапеции служит интервал оси Ox, симметричный относительно начала координат, [-гy, гy]. Для площади такой параболический трапеции имеем выражение
т.е.
Метки:
